一道初中几何题的故事

杂谈 | 共 4203 字 | 20220402 发表 | 20220403 更新

又是一篇早就想写但是一直没写的作文,一个从初三到大三的故事。

小学

可能是受家庭教育影响,我从小就对数学比较感兴趣。两三岁的时候能在我爸的帮助下算2的幂算到65536,当然那个时候并不知道幂的概念,只是一直相加。还没上小学的时候,我姥爷带我去商店买糖,我可以用单价除以质量算出哪个更便宜。我记得上小学以后我还看《幻想数学大战》,买回来五册我宁愿不吃饭也要一口气都看完,也不知道是对数学还是漫画感兴趣。

小学课内的数学很轻松,三四年级我就开始每周去海淀黄庄上奥数课。那时候的我肯定没什么主见,更多的是因为家长听说楼上邻居比我大几岁在学,可能是觉得我数学还不错,就让我也去学。那时候我家门口的地铁七号线和远一点的九号线都没开通,要我妈骑车带我到长椿街坐地铁,我上课的时候也会在外面等着我。后来为了小升初还报了语文英语还有「占坑班」之类的,投入了不少时间和钱。有段时间周末一早就要去上课,晚上天黑了才回来,然而最后还是去了个非常普通的初中。

初中

可能是因为初中不太好,也可能是我家长开始更考虑我的想法,我并没有被要求周末继续上课外班。但我当时对数学还是很有兴趣的,单纯的兴趣,所以即便单程要坐一个小时地铁依然每周六去海淀黄庄上奥数课。大部分同学穿着清华附中和人大附中的校服,大概是因为要学校周末要补课。我倒也不会自卑,当时我的水平还可以,曾经在一个几千还是几万人的竞赛得了二十多名。离顶尖水平当然还有相当的差距,但我当时也没想着非要竞赛拿什么名次,只是单纯的兴趣。后来到了初三要准备应试中考,可能是我家长觉得再上课外班也没啥帮助了,也可能有意识到自己和顶尖水平的同学的差距,再加上每周坐两个小时地铁时间太长,就没有再上课外班了。我就再也没有上过课外班了。

当然我当时的数学水平肯定比普通的初中生强很多,尤其考虑到我的初中连重点都不是,我可以很自信地说我的数学在我们初中能算顶尖水平。甚至我小学毕业的时候的水平已经比很多人厉害了,比如四点共圆是小学课外班就学过,北京市中考都不考。还有数论和代数上完全脱离中学数学的内容,比如柯西不等式。另外还会看一些文章视频,通过原始的微积分计算球的体积和表面积。

所以当我被这样一道东城区中考二模的几何题难住的时候,我是很不爽的。。。

原题

当时班上一位比较厉害的同学通过几何的办法做出来了,其实正确的方法就是正常初中几何做法。但我当时比较执拗,并没有听他讲正确解法怎么做,而是沉迷用代数的方法解决。 $$ \sqrt{6-4\sqrt{2-x^2}}+\sqrt{3-2x} $$ 我把式子列出来却不知道怎么求得最小值,那位同学也不会。我们通过几何方法的答案确认了我的式子是对的,只是我们不会解。我翻了一下QQ空间当时我应该是不会用导数这种高数方法,尝试了很多初等方法并没有解出来。问了班里的数学老师也不会。

然后我在贴吧发了个帖子,发帖时间是2016年6月14日,24号就中考了,正常人可能不会浪费时间纠结这一道题的代数解法。不过我当时中考目标也不算很高,就想去个离家近的八中。再加上普通学校有「名额分配」对中考的成绩要求没那么高,我当时并没有花很多时间备考(甚至5月24号上线的守望先锋在中考的时候我已经60多分了)。代价是最后差了半分没去成八中。。。

高中

也许是小学的时候在师大附中的占坑班的短暂回忆并不好,也许是楼下邻居跟我说师大附中的盒饭非常难吃,也许是师大附中离家太远并不想去,也许是没考上八中有些失望,我对师大附中的态度从一开始就是负面的。后来分班考试考入了「钱学森班」——其实就是理科实验班,有三个分先后的班,我在第三班。

我高中学业唯一的高光时刻可能就是在第一次月考数学考了97分,我没记错的话有两个并列年级第一是98分。由于我们班主任兼数学老师的问题,我们班所有人有道题都扣了1分,我错失了高中唯一一次可能的(并列)年级第一。不过这也不能怪别人,谁让我自己没考100或者99呢?

当时数理化外每三个行政班还会再分三层教学,得益于这次月考,我数学和物理成功进入了「A1」层。然而恰巧是数学和物理的A1层要周六补课,我肯定不想把把我宝贵的周末花在刷题上,我一开始几次确实是有事没去,后来实在不想去就干脆一次没去过。由于旷课再加上期末成绩有些退步,下学期全被踢出A1了。。。跑题了。。。

虽然周末补课不去,周二下午的物理补课我大概一次没落。出人意料的是,物理补课一上来就发了好几打导数(好像还有积分)的资料。可能是对于新知识与数学的兴趣,那些资料我应该回家很快就过了一遍,概念很多但是并不算难。不过后来我物理学的不怎么样,有次考试把所有的多选题都当成单选做了,满分100或者120的卷子只拿了40分左右,没及格。会了导数就有一条新路了,原函数的极值可以看一次导的零点,一次导的零点又可以去算二次导,二次导算不出来再算三次导……总之我进行了不少计算,却还是算不出来。 $$ \frac{d}{dx}(\sqrt{6-4\sqrt{2-x^2}}+\sqrt{3-2x}) = \frac{2x}{\sqrt{6-4\sqrt{2-x^2}}\sqrt{2-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{3-2x}} $$

我记得当时每周五下午数学也会补课,不过不像物理会有一些看似课外的额外内容,数学基本上就是讲题或者发张卷子自习。有一次我拿着那个式子和草稿去问A1的数学老师,他并没有太认真看,跟我说有些函数即便有最小值也是算不出来的。他大概也不是敷衍,也许是当时在备课比较忙,也许是觉得没必要花太多时间计算这种高考不会考的题,再加上本来也不熟。我当时确实有些失望,整体的环境给我一种只在乎应试成绩的感觉,我的问题似乎并不被鼓励,所以我愈加反感高考。

虽然钱学森班是理科班,高一还是有正常的史地政课程的。大部分人都是准备学理科,所以老师们备课也没有太应试的东西,反而上课的感受更好。我的兴趣比较广泛,各种史地政知识虽然不深入但都有了解,在课上可能是少数会和老师互动的人——大部分人应该在写理科作业。

以我选择了另一条路,高二去了文科班。我很快就失去了对史地政的兴趣,课上的氛围又变得像之前理科一样,只想着考点和答题,高考是唯一的目标,大量重复性刷题作业和理科并没有区别。

(文科班学的数学更水了,因为高考文科数学比理科数学简单。其实我觉得我高中除了一开始集合和对数还有导数是学了点新东西,基本都在啃以前课外班的老本。

平心而论师大附中在「素质教育」上还算可以,比如高一有研究型学习(详见钻木取火),高二的通用技术也有木工焊接之类比较有意思的课,有段时间还有国际版的外教来给我们上课。艺术课的老师水平都很高,甚至还有钢琴课,虽然有的时候会被主课老师占但是很少。体育课很拉胯没啥办法,校园太小人太多。总体对比全国甚至北京的高中应该都算是不错的了,不过在「高考」整个环境的压力下还是没什么办法。

所以我又选择了另一条路。

大学

高三家里蹲应该并不算高中的一部分,考完托福和ACT后就很闲了。尝试用WolframAlpha计算了一下,结果还真能算出来。

wolframalpha

然而并不能直接看到过程,让朋友用会员给我发了下过程,其实就是求了个一次导然后解零点,只不过零点没那么好解,过程也被省略了。

也许并不是所有有最小值的函数都能被算出来,但是这个确实是可以的,计算比较复杂但是也就算了一次导数。知道能算出来后我就放下了,没再坚持自己完整算一遍,那时候根据自己的兴趣和劳动市场已经决定要大学要学数学或者计算机了。

后来到了滑铁卢大学以后,由于我并没有被直接录到计算机系,大部分精力还是放到了数学上。凭着对兴趣与自信,我所有的主课都选了进阶版(Advanced level)。代数和微积分的教授讲的都很好,我也愿意学——是真的学习而不是作业做完就完事,每天上课写作业打刀塔快乐且充实。

当时每周有数学竞赛的活动,为了让学生们准备如Putnam的竞赛。每次发一张纸有一堆题,每个人凭自己喜好做题,教授不讲题但是有问题可以问。本着凑热闹的心态我基本每次都去蹭吃蹭喝,虽然经常一道题都做不出来。有IMO奖牌的大神们经常去,所以去问作业也是个不错的地方。有一次比较晚人很少,没人问教授问题,我就过去拿着草稿纸上的函数去问怎么求最小值。

具体过程我不记得了,他直接在黑板上开算,尝试了一下换元,然后就一直求导。后来好像求到了三次导数还做不出来,发现之前的计算有错误,又回头重新算。可能过了半个多小时实在太晚要结束了,他跟我说就这样求导应该是能算出来的,有时间慢慢算就可以。

我确实被他的认真惊讶到了,但是并没有被感动得努力学数学,我从周围的环境深刻意识到了我和大神的差距,无论是天赋还是耐心我都不太适合做数学研究,更不用说数学竞赛了。

大概从那个时候开始,第一学期过去一半以后,我对数学的热情逐渐消散了,虽然还有兴趣。我上课不再追求全部听懂,把作业写完了就完事了,不行就去问同学。我还是所有数学课都上进阶版,一度为了上进阶版的概率课换了工作的学期,后来发现自己根本不想学。我把纯数学选为了自己的专业之一,大二也上了几门纯数课,兴趣还是有的,但热情一直消散。

人们常说学感兴趣的学科,做感兴趣的工作是好的,我也一直很赞同并朝这个方向努力。但我发现事情并没有这么简单,学习与工作并不会完全与兴趣重合。比如学校里上课需要考试,但是应该没有人会喜欢考试,工作上遇到的各种现实问题更多。不只是遇到挫折,当把时间花在自己不喜欢的部分时,热情也会减少,从而降低兴趣的积极影响。兴趣肯定是有益的,但并不是一劳永逸,只是让一开始对学习工作的热情比较高,但是该遇到的问题还是躲不掉的。除非是随心所欲的自由学习或者自由工作,兴趣的意义并没有那么大。所以我准备放弃纯数学专业,所以我准备毕业做码农。

(感觉自己说了段废话

前段时间我又想起来这道题了,想尝试用几何方法做一下,花了一晚上两个小时画图,甚至借助了GeoGebra这种工具,结果还是不会。

geogebra

然后我就把这道题发给了一个很厉害的同学,结果他没过两分钟就给出了正确答案,还是说是心算的没画图。我承认虽然我知道他一直有参加数学竞赛,水平比较高,但那一瞬间我还是破防了。他告诉我这是「阿波罗尼奥斯圆」,中考老套路,没学过很难自己想出来。

我尝试凭自己努力想,最后还是上网搜了一下,看了篇文章发现其实就是升级版将军饮马,做法也很简单,毕竟是中考难度。其实这种形式的题很容易联想到将军饮马,我之前应该也想到过,但是并没有想到要怎么做。后来想了一下其实我小学的时候可能就学过,那时候初三快毕业的时候已经忘了。

所以这个故事到这里我完全会了应该就结束了,前段时间就想写,打完大表哥2终于花了一个周末写完了,拖得有点久写的很杂乱。虽然这算是我的风格,但还是改一改比较好。。。

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